Arkiajattelun nyrjäyttämiseksi (topologiaa huviksi ja hyödyksi 1)

Topologia on matematiikan ja avaruusgeometrian outo sivuhaara. Siinä tärkeitä ominaisuuksia ovat paikka (kreikaksi topos, τόπος), sijainti (paikan suhde ympäristöönsä) ja rakenne (sijaintipaikkojen keskinäiset suhteet, kuuluminen johonkin joukkoon), ei niinkään määrälliset mittasuhteet (kuten pituus, pinta-ala ja tilavuus). Topologisia avaruuksia voidaan käsitellä myös algebrallisesti, jolloin niitä on matemaattisesti helpompi luokitella ja kuvata. Avaruuksien jäseninä ovat pisteet, luvut ja niiden järjestetyt jonot (kuten parit ja kolmikot) sekä niiden joukot, osajoukot ja komplementit, niiden muodostamat järjestelmät (kuten avoimet joukot), kuvaukset ja isomorfiat. Se matematiikan perusteista. Lisää vaikka wikipedian hakusanalla topologia.

Arkielämän topologiaa

Ajatellaanpa vaikka paperirengasta, jonka voit pujottaa ranteeseesi, mutta jossa on vain yksi puoli ja yksi reuna. Onko se edes mahdollista? No, ota sormi ja silmä käteesi.

 

Möbiuksen rengas ja sen sivujen laskenta.

Jos katsot tai kosketat sormellasi tämän erikoisen paperinauhan mitä tahansa kohtaa, arkijärki sanoo, että sen toisella puolella on toinen pinta joka loogisesti sulkee etupuolella näkyvän pinnan itsensä ulkopuolelle. Pintoja on siis kaksi, räätälikäsittein oikea ja nurja puoli, seteli- ja lomaketerminologiassa etupuoli ja kääntöpuoli. Samoin jos tarkastelet paperin reunaa – eikö nauhalla muka ole kaksi reunaa – joista kummallakaan ei ole mitään tekemistä sen toisen reunan kanssa?

Mutta niinpä vain tässä kohtaa arkiajattelu tekeekin häränpyllyt – filosofiassa niitä kutsutaan paradokseiksi (näennäisesti mahdottomiksi ajatuksiksi). Jos seuraat sormellasi paperin pintaa kiertäen rengasta vaikka myötäpäivään, päädyt hetken kuluttua lähtöpisteeseen ja olet matkalla silittänyt kaikki ne pinnat (eli sen yhden pinnan) mitä renkaassa on. Tämän kädestä pitäen johdetun arkikokemuksen mukaan pintoja on siis kuitenkin vain yksi. Samoin reunoja. Syntyy siis kaksi näennäisesti aivan pätevää arkikokemusta jotka ovat toisilleen täysin vastakkaisia. Kumpi nyt on totta: yksi vai kaksi pintaa ja yksi vai kaksi reunaa? Ei kai joku voi olla samaan aikaan sekä yksi että kaksi? Vai voiko sittenkin?

No voi olla, jos hyväksytään, että sekä pinnalle että reunalle voidaan muodostaa kaksi täsmennettyä alamääritelmää, jotka eroavat toisistaan juuri sen verran kuin pitääkin. Alamääritelmä 1: Pinnan sivu 1 on pinnan etupuoli ja sivu 2 sen kääntöpuoli. Sivua 2 ei voi (ilman peilejä tai muita apuvälineitä) nähdä sivun 1 kanssa samaan aikaan. Tällöin sivut 1 ja 2 sulkevat pois toisensa. Sivu 1 on sivun 2 kääntöpuoli ja päinvastoin. Sivut voivat olla suoria tai kaarevia. Sivut 1 ja 2 voidaan erottaa toisistaan näkemällä tai tunnustelemalla jolloin kokemiseen tarvitaan jokin rajallinen aikajakso. Möbiuksen renkaan tapauksessa aikaikkunan alku- ja loppupää siirtyvät sitä mukaa kun siirrytään eteenpäin renkaan pinnalla. Aikajakson alussa oleva sivu 1 pysyy koko ajan sivuna 1, mutta lopussa (kierroksen täyttyessä) sivu 1 onkin korvannut aiemman sivun 2 ja sivu 2 sivun 1, koska ollaan eri aikaikkunassa. Alamääritelmä 2: Pinnan sivu on pinnan toinen puoli ilman lisätarkennuksia tai -rajoituksia ja ilman aikaikkunoita. Pinnan sivu voi olla rajaton ja jatkua siinä mielessä loputtomiin ja se voi myös yhtyä pinnan kääntöpuolen sivuun (kuten Möbiuksen renkaassa). Molemmat käsitteen ”pinnan sivu” alamääritelmät ovat siis yhtä totta. Käy kuten useimmissa muissakin paradokseissa: riittävän täsmällisen käsiteanalyysin jälkeen näennäinen ristiriita katoaa.

Tätä oudosti käyttäytyvää paperirengasta kutsutaan topologiassa Möbiuksen renkaaksi tai nauhaksi (Möbiusband), koska toinen sen samanaikaisista keksijöistä oli saksalainen matemaatikko August Ferdinand Möbius (1790–1868). Toinen oli myös saksalainen matemaatikko Johann Benedict Listing (1808–1882) ja keksinnöt tehtiin vuonna 1858, tasan 160 vuotta sitten.  

Jos maantie olisi Möbiuksen nauhan kaltainen, se ei johtaisi mihinkään ja jos kulkija kykenisi jollakin tavoin pysymään tien pinnalla ja pystyssä, hän päätyisi aina lähtöruutuun.

Linnanmäen eräs vuoristorataversio on nimeltään Ukko. Sen rata on itse asiassa Möbiuksen nauhan se tylsempi versio, jossa rata kiertyy täyden kierroksen ympäri eli 360 astetta. Tietenkin, koska vain 180 astetta kääntyvässä junanvaunussa matkustajat päätyisivät lähtöasemalle pää alaspäin eikä se välttämättä olisi niinkään hauskaa.

Linnanmäen huvipuiston Ukko, 360 asteen kierre alkamassa. Kuva: PL 5.8.2018.

Möbiuksen nauhan klassinen versio syntyy helposti paperisuikaleesta kun sen toisen pään kääntää ympäri 180 astetta ja liimaa päät yhteen.

Möbiuksen nauhan outoja ominaisuuksia voi lisätä leikkaamalla paperinauhan keskeltä halki. Kuvittelepa ihan huviksesi ilman saksia ja paperia (unohda myös kivi): mitä arkijärkesi nyt sanoo – mikä on tulos? Yksi vai kaksi rengasta, joissa yksi vai kaksi pintaa ja reunaa? Saattaa olla hieman hankala tehtävä monellekin arkiajattelijalle. Temppuhan on klassinen, joten voin paljastaa vastauksen: Tulokseksi syntyy vain yksi rengas, jossa yhden kierteen sijasta on kaksi, siis yhteensä 360 asteen kierre (siis sama muoto kuin sillä Linnanmäen hurjalla Ukko-radalla). Nauhassa on kaksi pintaa ja kaksi reunaa sekä intuitiivisella että em. sormikokeen vahvistamalla arkiajattelulla. Kokeile jos et usko. Entä jos halkaiset vielä senkin renkaan? Jälleen arkijärjen vastaista: syntyy kaksi  toisissaan ketjussa kiinni olevaa klassista Möbiuksen rengasta (joissa molemmissa on yksi 180 asteen kierre).

Viivoille ja pinnoille rinnasteinen (analoginen) tilavuuksiin liittyvä esine on Kleinin pullo (Kleinsche Flasche) tai ilmeisesti alunperin Kleinin pinta (Kleinsche Fläche), jolla näennäisesti on tilavuutensa ja jossa voi ihan oikeasti pitää vaikka nestettä, mutta joka sisältää samanaikaisesti ulko- ja sisätiloja, joilla ei ole selkeää rajapintaa. Kleinin pulloon sisään mentäessä tila vähitellen laajenee ympäröiden lopulta itsensä. No, toisaalta hankalahkoa se ulko- ja sisätilan selkeän rajapinnan määrittely voi olla monessa tavanomaisessakin astiassa. Esimerkiksi kahvi- tai teekannussa jossa on putkimainen kaatonokka tai lasikannussa jonka kahva on sisältä ontto ja jossa kahvan sisätila yhtyy astiaan. Onttoja lasikahvoja olen kyllä nähnyt mutta en muista nähneeni sellaista jossa kahvan sisätila aukeaisi kannun sisään (sitäpä olisikin vaikea pitää puhtaana).

 

Kleinin pullo on sekin topologinen erikoisuus, jonka kehitti saksalainen matemaatikko (kuinkas muuten?) Felix Klein (1849–1925). Pullon voi puhaltaa esimerkiksi lasimassasta ja sen voi täyttää vaikkapa punaviinillä – varsinkin kun muistaa ujuttaa sisään pienen putken ilman poistamista varten. Piirros: PL.

Tässä törmätäänkin erääseen klassiseen topologian esimerkkiin, jossa kahvikuppi (sama muoto kuin lasikannussa) muuntuu munkkirinkiläksi ja josta matemaatikko John L. Kelley murjaisi vitsin: ”Topologi on matemaatikko joka ei erota kahvikuppia donitsista”. 

Toruspinta on arkiajattelulle tuttu topologinen muoto, klasssisena esimerkkinä autonrengas tai donitsi. Vasemmanpuoleinen kuva: wikipedia: torus, oikeanpuoleinen kuva: Goodyear rengasmuraali Jyväskylästä K. A. Nylundin 1926 piirtämän kerrostalon seinässä (muraali Felix Ojanen 1929-30, entisöinti Erik Kesäniemi 1991, kuva: PL 25.11.2018)

Munkkirinkilä, pelastusrengas tai polkupyörän sisäkumi ovat topologian arkkityyppejä, toruspintoja eli kahden ympyrän karteesisia tuloja varustettuna tulotopologialla: S¹ × S¹. Topologisesti torukseksi voidaan käsittää mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen näin määritellyn toruksen kanssa. Homeomorfiaa havainnollistava animaatio topologin päiväunesta eli kahvimukin muuntumisesta donitsiksi löytyy täältä.

Lasinpuhaltajat ovat kautta aikojen leikkineet kuplilla ja muilla lasin sisään jäävillä onkaloilla tai värimassoilla. Muodoissa on varmasti joukossa monenmoisia topologisesti mielenkiintoisia avaruuksia. 

Lasinpuhaltajien perinteiset päiväunet ovat usein lasittuneita palloja, joissa on sisällä oma jähmettynyt maailmansa. Rajapinta muuhun maailmaan on mielenkiintoinen: kova ja konkreettinen mutta samalla läpinäkyvä, kuin maailmankaikkeuden reuna josta ei pääse yli. Lasipallot: Ville Malinen noin vuonna 2001. Kuvat PL 19.12.2018.

Slovakialaisen lasinpuhalluksen kisällinäyte: viinilasi, jonka jalassa on neljä toisiinsa kietoutuvaa pitkää ilmakuplaa. Lasit: Zlatno-kylän lasitehdas,  Poltár, Banská Bystrica, Slovakia (1990). Kuvat: PL 18.12.2018.

Viinilasin jalassa oleva nelikerroksinen spiraali muistuttaa yllättäen kuuluisaa DNA:n kaksoiskierrettä, mutta on siis tuplasti kaksoiskierteinen. Kierre on molemmissa tapauksessa oikeakätinen eli sama kuin normaalissa ruuvikierteessä.

Nyt juttu taisi hypätä jo pahasti sivuraiteelle, mutta eihän se haittaa, kun koko topologia on matematiikan outo sivuhaara. Jatketaan tätä sivuhaaraa.

Ruuvikierteen ja oikeakätisyyden dna ja sen vaikutus suunnistamiseen, eksymiseen, rakennus- ja kaupunkisuunnitteluun

DNA-molekyylin A- ja B-muodoissa kierre on oikeakätinen, Z-muodossa sen sijaan vasenkätinen. Yllä kuvatun lasin jalan korkeus on 18 cm, jolloin kuplien yhteenlaskettu pituus on noin metri. Jos yhden ihmisen solun DNA avataan yhdeksi nauhaksi on sen pituus kuulemma noin kaksi metriä eli kahden tällaisen lasin jalassa oleviin ilmakupliin mahtuisi yhden ihmisen solun dna.

Oikeakätisten ihmisten ja ruuvien enemmistö on maapallolla hallitseva. Oliko oikeakätisyys vallitsevaa myös ennen ruuvin keksimistä tai ennen kuin Arkhimedes sen kirjasi? En tiedä.

Millainen on oikeakätinen ruuvi? Havainnollistus: kun ”oikeakätistä ruuvia” ruuvataan kiinni eli kiristetään, käännetään sitä myötäpäivään eli siihen suuntaan mikä on oikeakätiselle luontaisempaa. Seurattaessa oikeakätisen ruuvin kierrettä loittonevaan suuntaan täytyy kääntyä koko ajan myötäpäivään. Myös ruuvin vastakkaiseen suuntaan eteneminen on oikeakätistä. Ruuvi ei siis muutu oikeakätisestä vasenkätiseksi sen asentoa tai katsomissuuntaa vaihtamalla. Ruuveja valmistetaan myös vasenkätisinä, mutta ne ovat todella harvinaisia ja vain poikkeustapauksia varten.

Ruuvipinta on geometriassa ruuviviivan pisteistä lieriön akselia vastaan kohtisuorina piirrettyjen janojen muodostama pinta. Kreikkalainen filosofi Arkhimedes keksi tai ainakin kirjasi 2 200 vuotta sitten kolme fysiikan yksinkertaista konetta, vivun, väkipyörän ja ruuvin. Niillä tehdään jo pieniä ihmeitä sekä rakennustyömaalla että pellolla. Ruuvia kiertämällä voidaan nostaa vettä alemmalta tasolta ylemmälle tasolle. En tiedä oliko Arkhimedes oikeakätinen, mutta ainakin kirjallisuudessa esitetyt Arkhimedeen ruuvin piirrokset ovat oikeakätisiä eli nostavat vettä myötäpäivään käännettäessä.

Arkhimedeen ruuvi esitettynä englanninkielisessä tietosanakirjassa 1900-luvun alussa (William Dwight Whitney, The Century Dictionary, an Encyclopedic Lexicon of the English Language. New York. The Century Co., 1902 I:297)

Kierreportaat voivat olla kumman tahansa suuntaisia ja suunta voi määräytyä myös tilojen pohjaratkaisuista – mikä on luontevin liikennevirran suunta ennen siirtymistä portaalle tai portaalta pois. En tiedä onko joku jossain tehnyt empiiristä ja tilastollista tutkimusta rakennettujen kierreportaiden kätisyysjakaumasta, mutta veikkaan – intuitiivisesti ja arkijärjellä – että yleisempiä ovat ne joissa noustaan kierrettä ylös pitäen oikealla kädellä kiinni portaan ulkokehän reunakaiteesta.

Arvio perustuu siihen, että jos kätisyyssuunnan voi valita vapaasti eli lähes liikennevirran kulkusuunnista riippumatta, valitaan yleisemmin oikea- kuin vasenkätinen kierre. Miksikö? Koska se on oikeakätiselle luontaisempi valinta: oikea käsi oikean puoleiselle kaiteelle ylös noustessa. Kiertosuunta on tällöin vastapäivään (samaan suuntaan juostaan myös kilparadoilla – luulisin, että siksi koska kaarrejuoksu vasemmalle on luontevampaa oikeakätiselle). Alas laskeuduttaessa joudutaan tietysti käyttämään vasenta kättä jos edelleen halutaan käyttää portaan ulkokehää eli sitä loivempaa reittiä. Mutta alastulo onkin usein ainakin kevyempää joskaan ei välttämättä helpompaa.

Tämä Stockmannin tavaratalon (Sigurd Frosterus 1929-30) kaunis ja vaikuttava kierreporras on oikeakätinen (tavaratalossa on myös vasenkätinen kierreporras). Kuva: Finna/Foto Roos 1931.

New Yorkin Guggenheimin museon (Frank Lloyd Wright 1959) koko rakennuksen arkkitehtoninen idea on tasaisesti oikeakätisenä spiraalina nouseva yhtenäinen näyttelytila.

Solomon R. Guggenheim museo New York. Oikeakätisyyttä on näistä kuvista vaikea havaita, mutta ylös noustaan spiraaliluiskaa vastapäivään kiertäen. Kuvat: PL 27–28.3.2011.

Esimerkkejä on vaikka millä mitalla. Lasipalatsin (Revell, Riihimäki ja Kokko 1936) Bio Rexin upea kierreporras on myös oikeakätinen. Vasenkätisiä kierreportaita löytyy julkisista tiloista harvemmin ja silloinkin helpoiten tapauksissa, joissa on samassa tilassa rinnakkain sekä oikea- että vasenkätiset kierreportaat.

Kirjakauppa Lello & Irmãon sisäportaat Portossa (Xavier Esteves 1906). Kaupan muhkeanmuotoiset symmetriset sisäportaat ovat sekä oikea- että vasenkätisiä. Kulkukaistatkin välillä sekoittuvat toisiinsa. Pinnallisesta toiminnallisesta hämäryydestä huolimatta porrasinnovaatio helpottaa ylä- ja alakerran välistä liikennettä, koska liikennevirrat saadaan näin lomitettua tai oikeastaan rytmitettyä toisiinsa. Tästä ominaisuudesta huolimatta portaiden muotoilun pääperustelu lienee esteettinen. Pysähtely ja kurvailu portaikon eri kohdissa luo hyvät edellytykset tarkastella tätä upeaa luomusta ja sillä kulkevia ihmisiä rauhassa. Kuvat: PL 14.1.2006.

Kätisyydestä riippumatta ruuvikierteessä tai ruuvipinnassa liikkuminen saattaa sekoittaa tottumattoman pään. Balettitanssija tai taitoluistelija on harjaantunut piruettien ja spiraalien aikaiseen nopeaan pään pyöritykseen omalla tekniikallaan, mutta hitaampikin ympyrän kehän kiertäminen saattaa huomaamatta sekoittaa päässä olevan koordinaatiston niin, että alkuperäinen suunta tai reitti katoaa. Ihminen eksyy.

Kaupungissa suunnistamisen kannalta salakavalimpia ovat vähitellen kaartuvat kadut ja samankaltaisina toistuvat ja liian lyhyet katunäkymät. Helpoiten suunnistettavia ovat suorakulmainen katuverkko ja sellainen jossa on riittävästi pitkiä katunäkymiä ja tunnistettavia maamerkkejä. Intuitiivisesti ajatellen keskiaikaisen kaupungin mutkitteleva katuverkko voisi olla hyvinkin eksyttävä, mutta suunnistaminen onnistuu yllättävän hyvin koska matkan varrella on yleensä tasaisin väliajoin tunnistettavia maamerkkejä, aukioita, katutilojen sarjoja, kirkon torneja, savupiippuja, muita huomattavia julkisia tai yksityisiä rakennuksia, puistoja, portaikkoja jne. Niistä ei tietenkään ole apua jos niitä ei tunnista tai näe. Turisti voi eksyä hetkellisesti niinkin pienissä ja selkeärajaisissa tai -muotoisissa kaupungeissa kuin Venetsia tai Hamina. 

En tiedä onko liikkumisen ja kaupunkisuunnittelun topologian keskinäissuhteita tutkittu. Vaikuttaako ruuvipintojen kätisyysvalinta muuallakin kuin rakennusten kierreportaissa tai luiskissa? Liikenneympyrät kierretään oikeanpuoleisessa liikenteessä vastapäivään, vasemmanpuoleisessa myötäpäivään. Maissa joissa liikenne on vasemmanpuoleista kierretään liikenneympyrät myötäpäivään, mutta juostaan kilparadoilla vastapäivään, hevoset ja koirat mukaan lukien. Onko siitä kaupunkiliikenteessä jotain haittaa? Juostaanko Iso-Britanniassa huonompia ratakierrosaikoja sen takia? Pitäisikö brittien irtisanoutua myös olympiakomiteasta (vitsi vitsi)? Kansainvälisten urheilujärjestöjen sääntöjähän on pakko noudattaa jos aikoo kisoihin osallistua.

Onko oikeakätisyyden hallitsevuudella jokin rooli kaupunkisuunnittelun mahdollisesti aiheuttamissa ongelmissa? 

Topologian taikaa

Monet ammattitaikurit käyttävät topologian omituisuuksia hyväkseen suunnitellessaan temppujaan, tietäen tai tietämättään. Vanhimmat naru-, solmu- ja nauhatemput ovat tietenkin syntyneet pelkästään kokeilemalla ja sattumalta ilman sen kummempia matemaattisia pohdintoja. Nauhaan pujotetut puupallot siirtyvät järjenvastaisesti puusauvaan porattujen, narun mentävien mutta palloa pienempien reikien läpi sauvan toiselle puolelle. 

Pirunnyrkki on ehkä tunnetuin puupalikoista koottu kolmiulotteinen pulmalelu. Vai olisiko nykyisin jo unkarilaisen Rubikin kehittämä kuutio se tunnetuin? Molemmat viihdyttäviä mutta samalla ärsyttävästi  arkijärkeä haastavia  temppuja. 

Pirunnyrkki ja Rubikin kuutio. Kumpi on tunnetumpi? Puiset ja metalliset perinteiset kolmiulotteista ajattelua haastavat pulmalelut ovat tulleet uudelleen suosioon ja niitä valmistetaan lukemattomia erilaisia versioita. (esim. Väkkäräverstas). (kuvat: wikipedia)

Huviksi ja hyödyksi, sanottiin ennen vanhaan. Hyöty syntyy siitä, että nämä kokemukset kouluttavat aivoja etsimään ongelmien ratkaisuja näennäisesti mahdottomistakin suunnista. 

Hiukkasfysiikassa arkiajattelun mukaiset avaruusgeometriset mallit on voinut unohtaa viimeistään sen jälkeen kun tanskalaisen Niels Bohrin (1885–1962) nyt jo 105-vuotias atomimalli kävi vanhentuneeksi. Alkeishiukkasia ja niiden ominaisuuksia on nimetty sitä mukaa kun uusia havaittuja ilmiöitä ei ole pystytty vanhoilla malleilla selittämään.

Arkiajattelijaa saattaa säväyttää se, että täsmällisillä kvanttifysiikan kaavoilla pelannut Heisenberg on tunnettu nimenomaan epätarkkuusperiaatteen kehittäjänä.

Tässä kohtaa pitää viimeistään pitää tauko. Seuraavassa osassa käytännönläheistä arjen topologiaa.

Advertisement